Josef Vlcek begann Geige zu spielen, als er fünf Jahre alt war. Er stammt aus einer großen Familie, in der alle die Musik sehr hoch schätzen. Er ist an die Musikschule in Zizkov, Prag gegangen und hat dort bei Frau Eva Bublova seinen ersten Unterricht bekommen. Bei ihr hat er auch früh mit Kammermusik angefangen und mit dem brüderlichen Klaviertrio bei ersten Wettbewerben teilgenommen.
Seine Ausbildung wurde an einem Gymnasium und der Musikschule in Prag in der Klasse von Frau Radka Beranova fortgesetzt. Dort legte er 2015 das Abitur ab. Seitdem studiert er an der Hochschule für Musik Carl Maria von Weber in Dresden bei Frau Natalia Prischepenko.
Josef ist Preisträger von mehreren Wettbewerben wie dem Nationalen Wettbewerb der Konservatorien, dem Internationalen Wettbewerb von Josef Muzika in Nová Paka, dem Richard Bellon Wettbewerb in Sulzbach und weiteren. Er hat schon mit Orchestern wie der Prager Philharmonie und der Sinfonietta Dresden gearbeitet. Sein Spielen haben Geiger wie Josef Suk, Ivan Zenaty, Joshua Epstein, Ray Chen und weitere beeinflusst.
Seit Oktober 2016 ist Josef Stipendiat der Brücke-Most Stiftung und des DAAD.